数学课时作业本答案（数学课时作业本答案解析）

数学课时作业本答案解析

第一道题：

小标题1：题目提供条件及目标

已知正整数$a$，$b$满足$a+b=99$，且$\\gcd(a,b)=1$。求数字$a$，$b$中较大的数。

小标题2：解题思路

由于$\\gcd(a,b)=1$，可以考虑用裴蜀定理解决这个问题。根据裴蜀定理，对于正整数$a$，$b$和任意整数$c$，方程$ax+by=c$有整数解当且仅当$\\gcd(a,b)|c$。因为$\\gcd(a,b)=1$，所以方程$ax+by=c$有整数解当且仅当$c$是正整数。 进一步考虑题目中的条件$a+b=99$，我们可以将其转化为$ax+by=99$的形式。由于$a$，$b$互质，所以最大公约数就是$1$。因此我们只需要在所有满足$ax+by=99$的$(x,y)$中选择最大的$a$或$b$即可。

小标题3：答案展示

我们使用扩展欧几里得算法来求解方程$ax+by=99$的一组解。首先将它转化为$ax\\equiv99\\pmod{b}$，然后对$a$，$b$进行扩展欧几里得算法。 例如当$a=27$，$b=72$时，我们可以使用下面的扩展欧几里得算法求解： 所以当$a=27$，$b=72$时，符合条件$ax+by=99$的所有整数解$(x,y)$为：$(2,-3)$和$(-25,10)$。 因为$a$和$b$均为正整数，因此我们只需要比较$27\\times2$和$72\\times10$的大小即可。显然，$72\\times10=720>54=27\\times2$，因此数字$b=72$更大，答案为$\\boxed{72}$。

第二道题：

小标题1：题目提供条件及目标

在$1\\sim100$中任意选取$10$个不同的正整数相加，最小值和最大值之差是多少？

小标题2：解题思路

因为$1\\leqa_i\\leq100$，所以选出来的数的和$S$的范围是$10\\leqS\\leq1000$。 我们首先选取$10$个最小的正整数相加，此时$S=1+2+\\cdots+10=55$。 然后我们选取$9$个最小的正整数和$1$个最大的正整数相加，此时$S=1+2+\\cdots+9+100=145$。 最后我们选取$8$个最小的正整数和$2$个最大的正整数相加，此时$S=1+2+\\cdots+8+99+100=253$。 因此最小值和最大值之差为$253-55=\\boxed{198}$。

第三道题：

小标题1：题目提供条件及目标

已知$x,y$均是正整数，且满足$\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{y}=\\dfrac{3}{10}$。求满足条件的$(x,y)$有多少组？

小标题2：解题思路

将分式$\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{y}=\\dfrac{3}{10}$化简得$10(x+y)=3xy$，移项得$3xy-10x-10y=0$，然后将其转化为关于$x$或$y$的二次方程。 例如将其转化为关于$x$的方程，我们得到$3yx-10x+3y^2=0$，然后使用求根公式得到： $$x=\\dfrac{10\\pm\\sqrt{100-36y^2}}{6y}=\\dfrac{5\\pm\\sqrt{25-9y^2}}{3y}$$ 因为$x$是正整数，所以$25-9y^2$必须是完全平方数，设$25-9y^2=n^2$，其中$n$是正整数，解得$y=\\dfrac{\\sqrt{25-n^2}}{3}$。 因为$x$和$y$是同阶的，所以$n$的取值范围必须在$0<|n|<5$内，同时$n$必须是$3$的倍数，即$n=0$，$\\pm3$，$\\pm6$中的一个。然后根据$y=\\dfrac{\\sqrt{25-n^2}}{3}$求出对应的$y$值，进而求得$x$，最后得到一共有$\\boxed{2}$组解，分别为$(3,30)$和$(30,3)$。